• 決定変数 (Decision Variables):
  最適化を行う上で、私たちがコントロールできる、あるいは決定すべき選択肢を表す変数。これらの変数の値を見つけることが、最適化の目標となる。
• 目的関数 (Objective Function):
  最適化によって達成したい目標を、決定変数を用いて表現した数式。最大化（例：利益、価値、効率）または最小化（例：コスト、時間、リスク）を目指す。
• 制約条件 (Constraints):
  決定変数が満たさなければならない条件や制限を表す数式または論理式。これらの条件により決定変数の取りうる範囲が決まる。

あなたは限られた容量（例：重さ）のナップサックを持っています。目の前にはそれぞれ価値と重さが異なる複数のアイテムがあります。ナップサックの容量を超えない範囲で、入れるアイテムの合計価値が最大になるように選びたい。

ナップザック問題は、以下のように定式化できます。

• 決定変数: 各アイテム $i$ をナップサックに入れるかどうかを決めます。これは「入れる(1)」か「入れない(0)」の二択なので、バイナリ変数 $x_i$ を使います。
  • $x_i = 1$ （アイテム $i$ を入れる場合）
  • $x_i = 0$ （アイテム $i$ を入れない場合）
• 目的関数: ナップサックに入れるアイテムの合計価値を最大化します。
  \[\max \sum_{i=1}^{n} v_i \cdot x_i\]

  ここで $v_i$ はアイテム $i$ の価値です

• 制約条件: ナップサックに入れるアイテムの合計の重さが、ナップサックの容量 W を超えてはいけません。
  \[\sum_{i=1}^{n} w_i \cdot x_i \leq W\]

  ここで $w_i$ はアイテム $i$ の重さ、$W$ はナップサックの容量です

  この条件を満たすように、アイテムを選ぶ、つまり $x_i$ の値を決定する問題と定式化できます。